Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

不完全ガンマ関数が半径無限大のとき

主張.
複素数\begin{align}z\end{align}が、\begin{align}|z|=\infty\end{align}を満たすとき、0以外の複素数\begin{align}s\end{align}に対して
\begin{align}\int^{z}_{0}e^{-x}x^{s-1}dx=\Gamma(s)\end{align}
が成り立つ。

これが一体何の役に立つのかというと、
\begin{align}\int^{\infty}_{0}e^{-zx}x^{s-1}dx=z^{-s}\Gamma(s)\end{align}
という綺麗な公式が成り立ちます。かなり便利です。
ということで、今回はこれを示したいと思うんですがその前に前置きを挟みます。



定義.不完全ガンマ関数
非負実数\begin{align}x\end{align}複素数\begin{align}s\end{align}に対して、不完全ガンマ関数は
\begin{align}\gamma(x,s):=\int^{x}_{0}e^{-t}t^{s-1}dt\end{align}
と定義される。

と、見るからに\begin{align}\gamma(x,s)\end{align}\begin{align}x\to \infty\end{align}\begin{align}\Gamma(s)\end{align}になります。


そこで、今回はこの\begin{align}\gamma(x,s)\end{align}\begin{align}x\in\mathbb R_{\ge 0}\end{align}形式上\begin{align}z\in\mathbb C\end{align}に拡張します。


形式上というのは、図形的な意味を除いて、定積分の基本定理に従うのみだということです。



そして今日考えるのは、0以外の複素数\begin{align}z\end{align}に対しての\begin{align}\gamma(z\cdot \infty,s)\end{align}です。


証明.
\begin{align}\gamma(z\cdot\infty,s)&=\int^{z\cdot\infty}_{0}e^{-x}x^{s-1}dx\\
&=z^s\int^{\infty}_{0}e^{-zx}x^{s-1}dx\\
&=z^s\mathcal{M}[e^{-zs}]\end{align}
と、メリン変換で表されるので、ガウス積分の別証明 - Integrateの本題のはじめの方に書いてある式
\begin{align}\mathcal{M}[\mathcal{L}[f(s)]]=\Gamma(s)\mathcal{M}[f(s)\mid_{s\mapsto 1-s}]\end{align}
より、
\begin{align}\gamma(z\cdot \infty,s)=z^s\Gamma(s)\mathcal{M}[\mathcal{L}^{-1}[e^{-zs}]\mid_{s\mapsto 1-s}]\end{align}
\begin{align}c\gt 0\end{align}に対して
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}[e^{-zs}]&=\frac{1}{2\pi i}\int^{c+i\infty}_{c-i\infty}e^{(s-z)\omega}d\omega\end{align}
これを積分路を変えて留数をとる・・・なんてことはせずにあえて、これを広義積分と捉え、通常の定積分をすると、(逆変換といったら普通留数とるから)
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}[e^{-zs}]&=\lim_{R\to\infty}\frac{e^{(s-z)(c+iR)}-e^{(s-z)(c-iR)}}{2\pi i(s-z)}\\
&=\lim_{R\to\infty}e^{(s-z)c}\frac{\sin(s-z)R}{\pi (s-z)}\\
&=e^{(s-z)c}\delta(s-z)\end{align}
デルタ関数が出てきました。(デルタ関数についてはデルタ関数のsin極限表示の導出 - Integrateを要参照)よって、
\begin{align}\gamma(z\cdot\infty,s)&=z^s\Gamma(s)\int^{\infty}_{0}e^{(x-z)c}\delta(x-z)x^{-s}dx\\
&=\Gamma(s)\end{align}
となりました。⬜︎