Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

MDG多重三角関数に関する久しぶりの結果

今日、ファ◯リーマートで数学のノートを出してきずいたら小一時間。



まあこのために費やした時間の合計は計り知れませんが。



そこで本当に綺麗な定理を発見しまして。



そこから派生して導かれたMDG多重三角関数の結果をですね紹介したいと思います。






ただ何より、証明を書き下すのが容易ではないと判断したため






いや、やっぱり何より今日はもう眠いから(笑)



証明は省略させていただきます。

定理.
\begin{align}\zeta^{G^{\prime}}_n(a):=\frac{d}{ds}\zeta^G_n(s)\mid_{s=a}\end{align}と定義します。このとき
\begin{align}\mathcal{S}^N_n(r)=e^{\zeta^{G^{\prime}}_n(1-r)}\end{align}

綺麗でしょう。






追記:(2018/04/30(翌日))
さっききずいたのですが、
\begin{align}\zeta^{G^{\prime}}_n(r)=\left(\frac{1-e^{-2\pi is}}{\zeta^s_n-1}\zeta^M_n(s)\right)^{\prime}\mid_{s=r}=2\pi i\frac{\zeta^M_n(r)}{\zeta^r_n-1}\end{align}
ですので、今回の結果は以下のような包含関係にあるとわかりました^^;。
f:id:parvaN:20180430101059p:plain

追記:(2018/05/04)
わざわざ正規化しなくても、\begin{align}0\neq x\in\mathbb R\end{align}に対して
\begin{align}\mathcal{S}^G_{r,n}(x)=e^{\zeta^{G^{\prime}}_n(1-r)}\end{align}
だとわかりました。\begin{align}x\end{align}に依存しないのが直感的に理解し難いですが、もし綺麗な定理が間違っていても少なくとも\begin{align}n=2\end{align}に対して成り立ちます。
それから、今回の結果は次のような包含関係にあります。
f:id:parvaN:20180504212400p:plain