Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

n次元ガンマ関数の積分表示を求めたい

僕は\begin{align}n\end{align}次元ガンマ関数の積分表示を求めたいんです。



今週の日曜日に数検一級を受けるのでそれまでは数論の勉強はまだできない(というか数論Iがもうamazonで購入してから3ヶ月経っても届かないから、まだ全く勉強できていない状態です笑。可哀想だと思ってください)


という訳で、私は私なりに積分表示に関する考察をしてみました。



まず
\begin{align}1^{\prime}_n=\{l\mid \mathbb N_n+l=\mathbb N_n\}\end{align}
と定義します。ここら辺の厳密さはまだよく理解していないのでご了承くださいませ。本が届いてから手直しをするつもりです。それかどなたかにご教授していただけるとありがたいです。


以下断りのない限り\begin{align}l_n\in 1^{\prime}_n\end{align}とします。


さて、\begin{align}n\end{align}次元ガンマ関数の定義式は、

定義.n次元ガンマ関数
\begin{align}\frac{1}{\Gamma_n(s)}:=se^{Q_n(s)}\prod_{l\in\mathbb N_n}\left(1+\frac{s}{l}\right)\exp\left(\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k}\left(-\frac{s}{l}\right)^k\right)\end{align}
ここで\begin{align}Q_n(s)\end{align}は都合のいい多項式。(今回、次数は\begin{align}n-1\end{align}とさせていただきました。)
※実際のところ、右辺被積数\begin{align}\exp\end{align}内の多項式は、原pdfに書いてあるものだと\begin{align}\Gamma_2(s)=\Gamma(s)\end{align}とならなくなるので入力ミスと判断いたしました結果都合のいいように変形させていただきました。

また、
\begin{align}\sum_{l\in\mathbb N_n}l^{-s}=\sum^{\infty}_{k=1}n_k^{-s}\end{align}
という風に、\begin{align}n\end{align}によっては一意に定まらないでしょうがこれ以外に表記がわからないので\begin{align}n_k\end{align}を定義し、
\begin{align}Q_n(s):=\gamma^M_n s-\sum^{n-1}_{k=2}\frac{(-s)^k}{k}\end{align}
\begin{align}\gamma^M_n:=\lim_{N\to\infty}\sum^{N}_{k=1}\frac{1}{n_k}-\frac{1}{l_n}\log N\end{align}
と定義する。このとき

定理.
\begin{align}s\Gamma_n(s)=\Gamma(s+l_n)\end{align}
\begin{align}S_n(\pi_n s)=\pi_n (-s)^{1-n}\prod^{n-1}_{k=0}\Gamma_n(\zeta^k_n s)^{-1}\end{align}

また、
\begin{align}P_n(s):=\sum^{n-1}_{k=2}\frac{(-s)^k}{k}(\zeta^M_n(k)-1)\end{align}
\begin{align}G_{n,m}:=m^{\frac{s}{l_n}}\prod^{n-1}_{k=1}\left(1+\frac{s}{n_k}\right)^{-1}:=\int_{\mathbb R_n}g_{n,m}(s,z)dz\end{align}
と定義する。ここで\begin{align}g_{n,m}\end{align}\begin{align}m\to \infty\end{align}\begin{align}g_n\end{align}に一様収束し、\begin{align}\mathbb R_n\end{align}\begin{align}\mathbb R_2=[0,\infty)\end{align}の一般化とする。(プレビューを見てビックリ!Latex itとは\begin{align}g\end{align}の表記が違うんですね。)


このとき

定理.
\begin{align}\frac{\pi_n s}{S_n(\pi_n s)}=\prod^{n}_{k=1}\left(\int_{\mathbb R_n}g_n(\zeta^k_n s,z_k)dz_k\right)\end{align}


ここでふと思ったのですが、逆に、
\begin{align}\frac{\pi s}{\sin(\pi s)}&=\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}e^{-x+y}x^s y^{-s}dxdy\\
&=4\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}e^{-(x^2+y^2)}x^{1+2s}y^{1-2s}dxdy\\
&=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\int^{\infty}_{0}r^3e^{-r^2}\sin\theta\cos\theta(\tan\theta)^{2s}drd\theta\\
&=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin(2x)(\tan x)^{2s}dx\end{align}
を一般化したら、
\begin{align}\frac{\pi_n s}{S_n(\pi_n s)}\stackrel{\mathrm{?}}{=}\int^{\frac{\pi_n}{n}}_{0}S_n(nx)\prod^{n-1}_{k=0}S_n^{(n-1-k)}(x)^{n\zeta^k_n s}dx\end{align}
となるのでしょうか?


これは結構真面目に検討しといたほうがいいかもしれません。相当それっぽいので。