Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

数検1級問題に挑戦

最近、\begin{align}n\end{align}次元サインやらなにやらと、


周期性やら、正規化やらなにやらと



マイナーな理論で遊びやがって😡



そんなことしらん!!




もっと身近なことについて記事を書け!!







というお声を、頂いたわけではないですが





自分で直感的にそう感じました。



もうそろそろやばいぞと。一ブロガーとして。







というわけで今回はめずらしく、数検1級という身近なものに触れて、少しはマンネリ化を防ごうという次第です。

以下は、自分が60分(試験時間)でやったこと思ったことを口語で表現しました。(※受けてはいませんよ)数検の過去問から適当に選びました。




第133回数学検定一級一次試験

1問目
\begin{align}x^8+4x^7+10x^6+16x^5+19x^4+16x^3+10x^2+4x+1\end{align}
を整数係数の範囲で因数分解しなさい。

相反方程式か、じゃあまあ\begin{align}t=x+\frac{1}{x}\end{align}
\begin{align}x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t,x^4+\frac{1}{x^4}=t^4-4t^4+2\end{align}
だから\begin{align}x^4\end{align}割った題は
\begin{align}t^4-4t^2+2+4(t^3-3t)+10(t^2-2)++16t+19=t^4+4t^3+6t^2+4t+1=(t+1)^4\end{align}
おっよくできてるなあ。さすが。てゆうことで

(正解)
\begin{align}(x^2+x+1)^4\end{align}

か。

2問目
次の定数係数2階線形微分方程式の一般解を求めなさい。
\begin{align}2y^{\prime\prime}+9y^{\prime}-35y+105x-97=0\end{align}

\begin{align}2y^{\prime\prime}+9y^{\prime}-35y=-105x+97\end{align}
\begin{align}2\lambda^2+9\lambda-35=0\end{align}
解いて\begin{align}\lambda=\frac{5}{2},-7\end{align}だから、
\begin{align}y=C_1e^{\frac{5}{2}x}+C_2e^{-7x}+ax+b\end{align}
ってすればいいんだっけなー。なんだっけあんま覚えてねーな。あ、でも原理的にあってるからいいのか。したら\begin{align}a=3,b=-2\end{align}

(正解)
\begin{align}y=C_1 e^{\frac{5}{2}x}+C_2e^{-7x}+3x-2\end{align}
\begin{align}C_1,C_2\end{align}は任意定数。

3問目
次の連立方程式の解で、\begin{align}x\ge y\ge z\end{align}となる実数解を求めなさい。
\begin{align}\begin{cases}
x+y+z=6\\
x^2+y^2+z^2=14\\
x^3+y^3+z^3=36\end{cases}\end{align}

見た感じ、\begin{align}(x,y,z)=(3,2,1)\end{align}だけどあってるかな・・・。もっとありそうだけどどうやって求めようか。
\begin{align}(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz\end{align}
\begin{align}6^3=36+3\cdot 11\cdot 6-3xyz\end{align}
\begin{align}xyz=6\end{align}
だけど、うーん。\begin{align}x+y+z=xyz\end{align}だからなに??わからん😥

(一応正解)
\begin{align}(x,y,z)=(3,2,1)\end{align}

なんだ、一組だけだったのね。

4問目
\begin{align}(1+x)^n\end{align}の展開式を\begin{align}c_0+c_1x+\cdots c_n x^n\end{align}とするとき
\begin{align}\sum^{n}_{k=0}(-1)^k\frac{c_k}{k+1}\end{align}
を求めなさい。

いや、簡単すぎか。明らかに\begin{align}c_k\end{align}は二項係数。
\begin{align}f_n(x):=\sum^{n}_{k=0}(-1)^k\left(\begin{array}{ccc}
n\\
k\end{array}\right)\frac{x^{k+1}}{k+1}\end{align}
\begin{align}f_n(1)\end{align}を求めればいいので、
\begin{align}f_n^{\prime}(x)=(1-x)^n,f_n(x)=-\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1}+C,C=\frac{1}{n+1}\end{align}
\begin{align}f_n(1)=\frac{1}{n+1}\end{align}

(正解)
\begin{align}\frac{1}{n+1}\end{align}

5問目
下の行列について、次の問いに答えなさい。
\begin{align}\left(\begin{array}{ccc}
a & -b & -c & -d\\
b & a & -d & c\\
c & d & a & -b\\
d & -c & b & a\end{array}\right)\end{align}
(1)逆行列を持つための条件を求めなさい。
(2)(1)の条件のもとで、逆行列を求めなさい。

(1)は、行列式求めて0でない条件を示せばいいんだな。

(試行錯誤)



いやどうやって綺麗にやんの?😅

(不正解(未回答))

6問目
\begin{align}a_n=\sum^{n}_{k=1}\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\end{align}のとき、\begin{align}\lim_{n\to \infty}a_n\end{align}を求めなさい。

えっと、区分求積法、中身が\begin{align}e^x\end{align}\begin{align}x\end{align}\begin{align}\frac{1}{2}\end{align}か。

(正解(約5秒暗算))
\begin{align}\frac{1}{2}\end{align}

7問目
\begin{align}D=\{(x,y)\mid 1\leq x^2+y^2\leq 4,x\ge 0,y\ge 0\}\end{align}とおくとき、次の二重積分の値を求めなさい。
\begin{align}\iint_{D}xy dxdy\end{align}

はいきた得意分野ー。
\begin{align}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\int^{2}_{1}r^3\sin\theta\cos\theta drd\theta=\frac{16-1}{4}\frac{1}{2}=\frac{15}{8}\end{align}

(正解)
\begin{align}\frac{15}{8}\end{align}




・・・というわけで、7点満点中惜しくも6点ということで合格点です。
まあ、でしょうね。←ってイヤミか笑