Integrate

数検一級取得。まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

Snについての予想

今日は予想しました。

\begin{align}n\end{align}次元サインについてです。



そんな、勝手に予想されても困ります。


なんていう方は、ぜひその途中経過だけ見て、


一種の微分方程式の解法なんだなと、自分に思い聞かせて見ててください。

予想.
\begin{align}S_n(x)=\frac{1}{n\zeta_{n^2}}\sum^{n-1}_{k=0}\zeta^{-k}_n e^{\zeta^k_n\zeta_{n^2}x}\end{align}


まあ最初からこんな複雑な式を予想できるわけないですよね。


実はこれの前に、次の同値な予想を予想していたのです。

同値な予想.
\begin{align}S^{(n)}_n(x)=\zeta_n S_n(x)\end{align}

同値な予想から予想までの過程pf.
自然数\begin{align}m\end{align}に対して
\begin{align}\text{同値な予想}\Rightarrow S^{(nm+1)}(0)=\zeta^m_n\end{align}
ですから、斉次性による\begin{align}S_n(x)\end{align}マクローリン展開より、
\begin{align}S_n(x)=\sum^{\infty}_{m=0}\frac{\zeta^m_n}{(nm+1)!}x^{nm+1}\end{align}
が成り立つので、
\begin{align}\sum^{\infty}_{m=0}\frac{x^{nm+1}}{(nm+1)!}\end{align}
を明示すれば良い。
これは、
\begin{align}\sum^{n-1}_{k=0}\zeta^{mk}_n=\frac{1-\zeta^{nm}_n}{1-\zeta_n}=\begin{cases}
n & (n\mid m)\\
0 & (otherwise)\end{cases}\end{align}
と表されることから、
\begin{align}\sum^{n-1}_{k=0}e^{\zeta^k_n x}=n\sum^{\infty}_{m=0}\frac{x^{nm}}{(nm)!}\end{align}
つまり\begin{align}n-1\end{align}微分して、
\begin{align}\sum^{n-1}_{k=0}\zeta^{-k}_n e^{\zeta^k_n x}=n\sum^{\infty}_{m=0}\frac{x^{nm+1}}{(nm+1)!}\end{align}
によって明示できる。
これの両辺を\begin{align}x\mapsto \zeta_{n^2}x\end{align}とすれば、
\begin{align}\sum^{n-1}_{k=0}\zeta^{-k}_n e^{\zeta^k_n\zeta_{n^2}x}=n\zeta_{n^2}S_n(x)\end{align}
\begin{align}S_n(x)=\frac{1}{n\zeta_{n^2}}\sum^{n-1}_{k=0}\zeta^{-k}_n e^{\zeta^k_n\zeta^{n^2}x}\end{align}
となって求める式が得られる。