Integrate

数検一級取得。まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

セコい道具を使って数検1級の問題を解く

おととい、


いいアイデアがないので暇つぶしに数件一級の問題を解いていたら


こんな問題に出会いました

問題7.

積分\begin{align}\int^{1}_{0}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx\end{align}を求めなさい。

それに載ってた求め方.

めんどくさいので写真を載っけます。



f:id:parvaN:20180211125546j:plain
f:id:parvaN:20180211125556j:plain
f:id:parvaN:20180211125607j:plain





最後のはちょっとフラッシュが強すぎましたね笑。
というわけで答えは\begin{align}\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\end{align}なんですが、こんなくどい方法ではなくとも、
僕が、小型のカップラーメン食べ始められるぐらいの時間で解いた方法があります。

小型のカップラーメン食べ始められるぐらいの時間で解いた方法(B関数を使った方法)

題を\begin{align}I\end{align}とおきます。\begin{align}x\to\frac{1}{x}\end{align}とし、\begin{align}I=\int^{\infty}_{1}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx\end{align}となるので、
\begin{align}I=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{0}\frac{x^2+1}{x^4+1}dx\end{align}
ここで\begin{align}x\to \sqrt{\tan x}\end{align}とし、
\begin{align}I&=\frac{1}{4}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\tan x)^{\frac{1}{2}}+(\tan x)^{-\frac{1}{2}}dx\\
&=\frac{1}{8}\left(B\left(\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)+B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)\right)\\
&=\frac{1}{4}B\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{4}\\
&=\frac{\pi}{4}\frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}\\
&=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\end{align}
となりました。



これのおかげで一級受かったらきっとこう思うでしょう

範囲外勉強しといて、よかった😋