Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

tanxのマクローリン展開

新年あけましておめでとうございます。


親の実家、静岡に帰省している間はPCが使えず、記事が書けなかったので

もう4日になってしましましたね。


私自身、\begin{align}\tan x\end{align}マクローリン展開自体は見たことがあるのですが、→テイラー展開 - Wikipediaによると\begin{align}|x|\lt \frac{\pi}{2}\end{align}
\begin{align}\tan x=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\end{align}
しかしその導出は一切見たことがありません。

なので自分でやりました。


私はてっきり\begin{align}\tan x\end{align}\begin{align}n\end{align}導関数を求めるのかと思っていました。(実際にそういうふうなやり方もあるかもしれませんが。)
しかし、今回の主役は「フーリエ級数展開」です。

導出
まあなんとなく\begin{align}\tan\end{align}をくずしときます。
まず加法定理より
\begin{align}\tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}\end{align}
これを解いて、初期値を踏まえて
\begin{align}\tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\sin x}\end{align}
ここで周期性及び関数の性質より\begin{align}|x|\lt \pi\end{align}
\begin{align}\frac{1}{\sin x}&=\sum^{\infty}_{n=1}b_n\sin(nx)\\
b_n&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}\frac{\sin(nx)}{\sin x}dx\end{align}
さて\begin{align}b_n\end{align}をどう解くかというと、
\begin{align}\sin(x+(n-1)x)=\sin x\cos(n-1)x+\sin(n-1)x\cos x\end{align}
なので
\begin{align}b_n&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}\cos(n-1)x+\cos x\left(\cos(n-2)x+\frac{\sin(n-2)x}{\sin x}\cos x\right)dx\\
&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}2\cos(n-1)x+\frac{\sin(n-2)x}{\sin x}dx\\
&=b_{n-2}\end{align}
という驚異の簡単な漸化式を持つので
\begin{align}b_n=\begin{cases}
0 & (n:even)\\
2 & (n:odd)\end{cases}\end{align}
となります。
よって
\begin{align}\frac{1}{\sin x}=2\sum^{\infty}_{n=1}\sin(2n-1)x\end{align}
そして\begin{align}\frac{1}{\tan x}\end{align}も全く同様にやって、
\begin{align}\frac{1}{\tan x}=2\sum^{\infty}_{n=1}\sin(2nx)\end{align}
これを足したり引いたりして、
\begin{align}\tan \frac{x}{2}=2\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\sin(nx)\end{align}
つまり\begin{align}|x|\lt \frac{\pi}{2}\end{align}
\begin{align}\tan x=2\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\sin(2nx)\end{align}
これをビシビシ変形させてゆく。
\begin{align}\tan x&=2\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\sum^{\infty}_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}}{(2j-1)!}(2nx)^{2j-1}\\
&=2\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}(2x)^{2n-1}(1-2^{2n})\zeta(1-2n)\end{align}
ここで、リーマンの関数等式(ζ(2m)の一般化された式の証明 - Integralerへの道補題1)
\begin{align}\zeta(1-s)=2^{1-s}\pi^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(s)\zeta(s)\end{align}
を使えば、
\begin{align}\tan x=2\sum^{\infty}_{n=1}(2^{2n}-1)x^{2n-1}\pi^{-2n}\zeta(2n)\end{align}
となり、さらにζ(2m)の一般化された式の証明 - Integralerへの道の命題より、
\begin{align}\zeta(2n)=(-1)^{n-1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\end{align}
を使って、
\begin{align}\zeta(s)=\end{align}
じゃねーや
\begin{align}\tan x=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\end{align}
が示されました。