Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

ガウス積分の別証明

追記:別証明と題してますが、なんと1812年ラプラスによって同じような証明方法がなされていることが判明いたしました。





本題
まーた今日も変換系かよ・・・
関数\begin{align}f\end{align}ラプラス変換をメリン変換すると、
\begin{align}\mathcal{M}[\mathcal{L}[f(s)]]=\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}f(y)e^{-xy}x^{s-1}dydx\end{align}
これを積分順序変更して変数変換\begin{align}x\mapsto\frac{x}{y}\end{align}をすると、ガンマ関数を用いて
\begin{align}&=\Gamma(s)\int^{\infty}_{0}f(y)y^{-s}dy\\
&=\Gamma(s)\mathcal{M}[f(s)\mid_{s\mapsto 1-s}]\end{align}
となる。

これを使って、ガウス積分
\begin{align}I=\int^{\infty}_{0}e^{-x^2}dx\end{align}
を考えていきます。(正値であることを留意)\begin{align}x\mapsto\sqrt{x}\end{align}
\begin{align}I&=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{0}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\\
&=\frac{1}{2}\mathcal{M}[e^{-s}\mid_{s=1/2}]\end{align}
ここでさっきの式を使うと\begin{align}1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align}なので
\begin{align}I=\frac{1}{2\Gamma(\frac{1}{2})}\mathcal{M}[\mathcal{L}[e^{-s}]\mid_{s=1/2}]\end{align}
\begin{align}e^{-s}\end{align}ラプラス変換\begin{align}s=\frac{1}{2}\gt -1\end{align}を考えているので収束し、それは
\begin{align}\mathcal{L}[e^{-s}]=\int^{\infty}_{0}e^{-(1+s)x}dx=\frac{1}{1+s}\end{align}
となるからこれをメリン変換して、\begin{align}s=\frac{1}{2}\end{align}とすると
\begin{align}\mathcal{M}\left[\frac{1}{1+s}\middle|_{s=1/2}\right]=\int^{\infty}_{0}\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{1+x}dx\end{align}
\begin{align}x\mapsto\tan^2 x\end{align}として
\begin{align}&=2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}dx\\
&=\pi\end{align}
よって
\begin{align}I=\frac{\pi}{2\Gamma(\frac{1}{2})}\end{align}
ここで設定上\begin{align}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\end{align}の値はまだ知りませんが
\begin{align}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2\int^{\infty}_{0}e^{-x^2}x^{2\cdot\frac{1}{2}-1}dx=2I\end{align}
なので
\begin{align}I^2&=\frac{\pi}{4}\\
I&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{align}
となりました*1

*1:本題の冒頭に書いた通り、正値だから自然と+にしました。