Integrate

数検一級取得。まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

arctan x+arctan 1/x=π/2


\begin{align}\arctan\end{align}とは、\begin{align}\tan\end{align}逆関数
今日は。タイトルの式の二つの導出をします。
\begin{align}\tan(x+y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}\end{align}
なので、
\begin{align}\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\end{align}
\begin{align}\tan^{-1} x+\tan^{-1}\frac{1}{x}=\tan^{-1} \infty=\frac{\pi}{2}\end{align}

\begin{align}\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\tan\theta}\end{align}
なので、
\begin{align}\frac{\pi}{2}-\tan^{-1} x&=\tan^{-1}\frac{1}{x}\\\tan^{-1} x+\tan^{-1}\frac{1}{x}&=\frac{\pi}{2}\end{align}

級数で見ると不思議
\begin{align}\tan^{-1}x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}\end{align}なので、
\begin{align}\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(x^{2n+1}+\frac{1}{x^{2n+1}}\right)=\frac{\pi}{2}\end{align}