Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

級数

数検1級問題に挑戦

最近、次元サインやらなにやらと、 周期性やら、正規化やらなにやらと マイナーな理論で遊びやがって そんなことしらん!! もっと身近なことについて記事を書け!! というお声を、頂いたわけではないですが 自分で直感的にそう感じました。 もうそろそろや…

Snについての予想

今日は予想しました。次元サインについてです。 そんな、勝手に予想されても困ります。 なんていう方は、ぜひその途中経過だけ見て、 一種の微分方程式の解法なんだなと、自分に思い聞かせて見ててください。 予想. \begin{align}S_n(x)=\frac{1}{n\zeta_{n…

tanxのマクローリン展開

新年あけましておめでとうございます。 親の実家、静岡に帰省している間はPCが使えず、記事が書けなかったのでもう4日になってしましましたね。 私自身、のマクローリン展開自体は見たことがあるのですが、→テイラー展開 - Wikipediaによるとで \begin{alig…

難しい問題【積分】

明日でハッピーニューイヤーですね。 今年は素人ながらいろいろなことがありました。 引っ越したり、駒場祭に行ったり、ねこちゃんと戯れたり・・・ とまあそんなことで(笑)来年も数学一筋で頑張っていきたいと思います。 最近また多重三角関数を引き出し…

ラプラス変換を用いたマクローリン展開の導出

ふと思いついたので紹介します。で、部分積分をし、 \begin{align}\mathcal{L}[f(s)]&=\frac{f(0)}{s}+\frac{1}{s}\mathcal{L}[f^{'}(s)]\\ &=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{s^{n+1}}\end{align} 両辺をラプラス逆変換し、左辺は。右辺は積分路を変…

多重三角関数の積【進行状況確認】

昨日、明日積分を解くと言ってしまいましたが・・・まあそれはいいとして(苦渋の笑) 多重三角関数に対し、をと定義する。(都合上、いつものように真ん中に書く事が出来ませんのでご了承ください。) 多重三角関数に関しては、以下の記事を参照になられる…

ちょっと美しすぎじゃない?

先日求めたやつparvan.hatenablog.comで、その翌日に追記を書きました、 ですが、今日気付いたのですが、さらに簡略化する事が出来ます。先日の追記では、Wikipediaでみた関数を使って簡略化していました。まあ単なる表記の問題なのですが、何か運命的な何か…

n次元球の体積を無限に足すと

昨日、私APPINはある数学の予想を立てました。予想といえば、リーマン予想、双子素数予想などが有名ですね。 以下の予想です。 予想.APPIN(2017/11/17) 非負整数に対して、次元球の和をとると、面白そうである。 ・・・はい。(笑) 昨日の parvan.hatenablo…

n次元球の体積の和が面白そう

確かこの前、次元球の体積を求めましたよね。ああこれでした parvan.hatenablog.com この時は特に何も思わなかったのですが、今日ふと思ったのは、「次元球を全て和をとったらどうなるのだろう?」ということでした。今日は求める事が出来ませんでしたが、ち…

【閲覧注意】恐ろしい級数

が乗法単位元ってなんか怖くないですか?つまりそれを係数にした \begin{align}\sum^{\infty}_{n=2}(-1)^n\zeta(n)\left(\sum^{\infty}_{k=2}(-1)^k\zeta(k)\right)\end{align} も1。さらにこれの被和数の指数に乗っけた \begin{align}\sum^{\infty}_{n=2}(…

解けました(?)【級数型】

parvan.hatenablog.com parvan.hatenablog.com さて、 \begin{align}\int^{\sin^{-1}x}_{1}\frac{\sin x}{x}dx\end{align}を解け。 ここではの逆関数。 という問題でございます。皆さんならどう解くでしょうか?もし数学者だったらどんなエレガントな解を導…

極めて初等的にEuler常数をゼータ級数表示

今日は題名の通り、極めて初等的に、Euler常数を、 \begin{align}c_E=\sum^{\infty}_{n=2}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)\end{align} に変形させます。 parvan.hatenablog.com にもでできました。 というのは、調和数とした定義式 \begin{align}c_E=\lim_{n\to\in…

Euler常数のいろいろな級数表示

① \begin{align}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}-\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\end{align} ② \begin{align}-\sum^{\infty}_{n=0}\zeta(-n)\end{align} ③ \begin{align}\sum^{\infty}_{n=2}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)\end{align} ④ \begin{align}\sum_{n\in…

絶対値付関数&区分求積法

今日は、絶対値府関数の積分と区分求積法が組み合わさった問題を解きます。読者の皆さんにも、是非実際に問題を解いて頂きたいです。 \begin{align}\lim_{n\to\infty}\int^{\pi}_{0}|x^2\sin(nx)|dx\end{align}を解け。 解法 絶対値府関数なので、零点ごとに…

arctan x+arctan 1/x=π/2

とは、の逆関数。 今日は。タイトルの式の二つの導出をします。 ①\begin{align}\tan(x+y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}\end{align} なので、 \begin{align}\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\r…

数検一級の級数の問題【解説】

今日は、数検一級から級数の問題を2問抜粋して、解説をしていきます。 1問目【実用数学技能検定「数検」発見I 改題版 -1級完全解説-の第一回一次5問目(2016.07.23)】 級数について、以下の問いに答えなさい。 ただし、はの逆関数でとの間の値をとるものと…

tanの級数

被和数にが出現している級数はあまりというか、全然見たことがない気がします。唯一、意図的に作られたものでは、 の第一回一次問題の五番。これはというよりかはですが、 問題5. 級数について、次の問いに答えなさい。 ただし、はの逆関数で、との間の値を…

ベルヌーイ数の和が面白い【改め】

改めの意味 先日、10月の初めですかね。ベルヌーイ数の和が面白い - Integralerへの道という記事を載っけました。なのになぜ、改めと題してまた書いているのか、それは決してネタ切れなどではありません。その理由はなぜか使用頻度が多いのに、数式の見た…

調和級数の6つの発散証明

今日はできるだけ調和級数の発散証明をただひたすらしていきたいと思います。ただそれだけです ①を使った証明 \begin{align}\sum^{2^n}_{k=1}\frac{1}{k}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\\ &\ge 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}…

区分求積法の例題三問と概説

区分求積法とは、短冊の和の「極限によって」得られる一種の積分法である。 大雑把に説明すると、曲線の内側に短冊を限りなく作って最終的に積分になってしまうというわけです。式にすると、 \begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=0}f(\fra…

マーダヴァ・ライプニッツ級数の3通りの導出

マーダヴァ・ライプニッツ級数とは、分母に正の奇数全体が出る交代級数である。 さて、突然ですがこの級数はに収束します。なぜが出てくるのか説明したいところですが、この前見たそれを説明していた英語の動画を残念なことに探すことができませんでした。申…

正のゼータ特殊値の交代級数の三通りの導出(1を除く)

和をとられる数の符号が交互に変わる無限和のことを、交代級数という。 ここで、1を除く自然数について和をとったリーマンゼータ関数の交代級数はどうなるでしょう?。リーマンゼータ関数ともなれば、無理数か超越数なんかになりそうです。ちなみに、式にす…

ベルヌーイ数の和が面白い

ベルヌーイ数は単調ではありません。また、1より大きい奇数番目では0という値を取ります。そこで、ベルヌーイ数単項の和はどうなるでしょうか?求めてみました。

リーマンゼータ3を初等的に別表示する

リーマンゼータ関数の3を簡単に少し綺麗な級数に示すことができます。