Integrate

数検一級取得。まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

積分

不完全ガンマ関数が半径無限大のとき

主張. 複素数が、を満たすとき、0以外の複素数に対して \begin{align}\int^{z}_{0}e^{-x}x^{s-1}dx=\Gamma(s)\end{align} が成り立つ。 これが一体何の役に立つのかというと、 \begin{align}\int^{\infty}_{0}e^{-zx}x^{s-1}dx=z^{-s}\Gamma(s)\end{align} …

数検1級問題に挑戦

最近、次元サインやらなにやらと、 周期性やら、正規化やらなにやらと マイナーな理論で遊びやがって そんなことしらん!! もっと身近なことについて記事を書け!! というお声を、頂いたわけではないですが 自分で直感的にそう感じました。 もうそろそろや…

不完全ガンマ関数の積分路が[0,i∞)、[0,-i∞)の時の求め方

本来、不完全ガンマ関数は積分区間が実数の時しか定義されてないのですが、 最近そんなことを言っている場合ではなくなってきたので、勝手に定義域を変更しちゃいます。 本来の不完全ガンマ関数は、次のように定義されます。 とは言っても、第一種と第二種が…

正規多重三角関数

多分もう一ヶ月ぐらい記事を書いてないので、 あーもうこれはやばいと思って急いで書きました。 しかし、特に書くことがないので 近況報告をしようと思います。 多重三角関数の拡張版(本名がすごく気持ち悪いのでこの呼び方で統一します。)の正規化版を漁…

セコい道具を使って数検1級の問題を解く

おととい、 いいアイデアがないので暇つぶしに数件一級の問題を解いていたら こんな問題に出会いました 問題7. 定積分を求めなさい。 それに載ってた求め方.めんどくさいので写真を載っけます。 最後のはちょっとフラッシュが強すぎましたね笑。 というわ…

Snについての目標

いやーもう何日も書いてないのでまたもや記事の書きかたを忘れかけているようです。 なので多少論理が飛躍している部分があると思いますがそれはそれでいいんじゃないかなと思います というか今日僕が伝えたいのは目標なのでサラッと見て見ぬ振りして流して…

n次元サインのマクローリン展開係数を求めたい

追記(2018/04/08):私の記事が幸いにもtwitterで紹介されていたのですが、その記事の画像がとんでもなく誤解を招かねないようなものになっているので、この場で訂正およびお詫びをします。 [参考]まさかこれにチャレンジする人がいるとは思わなかった・・…

絶対ゼータ関数

実は、前回の記事の続きとして新たに定理発表をしていたのですがなんとそれが後から間違っていることにきずいて、下書きに戻しました まあそれはよいとして先日、1/15ぐらいに 現代三角関数論 黒川重信 著 現代三角関数論作者: 黒川信重出版社/メーカー: 岩…

多次元群多重三角関数

先日、某信濃町駅付近で開催された数学カフェ開催の3日連続のセミナーに出席させていただきました。 2日目のゼータ兄貴さんが講演者を務めた「Sato-Tate予想」ではなんとフェルマーの最終定理の証明をしていました。#math_zeta_cafe フェルマーの最終定理…

tanxのマクローリン展開

新年あけましておめでとうございます。 親の実家、静岡に帰省している間はPCが使えず、記事が書けなかったのでもう4日になってしましましたね。 私自身、のマクローリン展開自体は見たことがあるのですが、→テイラー展開 - Wikipediaによるとで \begin{alig…

難しい問題【積分】

明日でハッピーニューイヤーですね。 今年は素人ながらいろいろなことがありました。 引っ越したり、駒場祭に行ったり、ねこちゃんと戯れたり・・・ とまあそんなことで(笑)来年も数学一筋で頑張っていきたいと思います。 最近また多重三角関数を引き出し…

ガウス積分の別証明

追記:別証明と題してますが、なんと1812年にラプラスによって同じような証明方法がなされていることが判明いたしました。 本題 まーた今日も変換系かよ・・・ 関数のラプラス変換をメリン変換すると、 \begin{align}\mathcal{M}[\mathcal{L}[f(s)]]=\int^{\…

ラプラス変換を用いたマクローリン展開の導出

ふと思いついたので紹介します。で、部分積分をし、 \begin{align}\mathcal{L}[f(s)]&=\frac{f(0)}{s}+\frac{1}{s}\mathcal{L}[f^{'}(s)]\\ &=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{s^{n+1}}\end{align} 両辺をラプラス逆変換し、左辺は。右辺は積分路を変…

デルタ関数のsin極限表示の導出

今日は久しぶりの記事なので、記事の書き方を忘れてしました(苦笑)前の記事で「新しい分野を勉強中」と言いましたが、デルタ関数がちょっと関わっています。 そこでデルタ関数に触れてみてすごいなと思ったのはよくあんな不思議な関数を極限表示できたなと…

ベータ関数を使って積分を解く

ベータ関数とは、それそのものが積分で定義される高等関数です。 定義 ベータ関数は二変数関数 \begin{align}B(x,y)\stackrel{def.}{=}\int^{1}_{0}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\end{align} 変数変換をすれば分かりますが、です。 だいたい察せると思いますが、積分…

回転体の考えでn次元球の体積を求める

昨日書いた parvan.hatenablog.com では、二次元から三次元の場合を想定して回転させましたが、今日は一般に次元の場合を想定して回転させたいと思います。随分前にかいたやつでは、重積分のみで求めてみようという旨だったのですごく手間がかかりましたが、…

回転体の体積の求め方

今回は、回転体の体積を例題を解いていきます。 図のように、直線の周りをくるくる回ります。ここで、ポイントとなるのが、円の公式 半径の円の面積はで与えられますよね。 これを使って考えればよいです。を使った厳密な方法でも良いですが、理解するのには…

【朗報】駒場祭のやつの積分部門で1位になりました

東京大学で毎年11月に開催される駒場祭に行ってきました。 最終日ながら、ものすごい盛況でしたね。僕は朝早くから行ったのですが、その時点で何百人(もしくはそれ以上)はいたと思います。↓並んでる時の写真 今年の駒場祭のテーマは「おと かさなる」で…

多重三角関数の積【パターン2】

私はfirefoxを使っています。firefoxには色々と便利な機能をカスタマイズすることができるですが、その中に、タブの背景を変えられるものがあります。例1(デフォルトモード): 例2(猫の目): 例3(宇宙): など、これ以外にも非常に多種多様で、たし…

明日解きたい積分

今日はあと30分しかないですので、明日解きたい積分を紹介します。知恵袋で発見しました。 \begin{align}\int\frac{(\log x)^2}{(x+1)^3}dx\end{align} ですね。なんか解けそうですが。ちなみに、好奇心で今日PCのパスワードを50桁にしちゃいました(笑)

n次元球の体積を無限に足すと

昨日、私APPINはある数学の予想を立てました。予想といえば、リーマン予想、双子素数予想などが有名ですね。 以下の予想です。 予想.APPIN(2017/11/17) 非負整数に対して、次元球の和をとると、面白そうである。 ・・・はい。(笑) 昨日の parvan.hatenablo…

積分のそこそこの良問解説

難易度も程良く高い、答えも簡潔で予想外。何より、解法がアクロバティック。私は日々、このような問題に会えることを待ち望んでいるわけでありますが、今日、上記の条件を7割は満たす(少ねえ!)問題を見つけました。 例 9割:\begin{align}\int^{\pi/2}…

ζ(3)の積分表示の微妙な考察

さて、皆さんは本来の「微妙」の意味をご存知でしょうか。今では「なんか微妙だね」とか「微妙な空気になってしまった」とかって使われますよね。でも実は本来の「微妙」の意味は「少し良い」っていう意味らしいです。 国語の先生が言ってました。 今日はそ…

多重三角関数の積分表示の導出【ゼータ特殊値使用】

いやあ、今までオンボロ格安シャーペンを使っていたもんでありますから、新しくクルトガを買って、非常に嬉しいです。 本題に入りましょうか。 に対し、多重三角関数()を、 \begin{align}\mathcal{S}_r&\stackrel{def.}{=}e^{\frac{x^{r-1}}{r-1}}\prod^{\in…

【告知】多重三角関数の積分表示の導出

予告するほど大したことではないですが、この前紹介した parvan.hatenablog.com 三重三角関数なるものの一般化、多重三角関数の積分表示が導出できましたのでお知らせ致します。 以上。

三重三角関数の積分表示の導出

追記:John Smithさんからの指摘があったので、の見落とし及び絶対収束の部分を訂正しました。(てゆうか最初に難しく考え過ぎてしまいましたが実際には簡単なことでした。) 引用-http://ir.c.chuo-u.ac.jp/repository/search/binary/p/3930/s/1365/ 突然で…

数三積分の問題を小学生レベルで解く【改め】

見たまま記法からはてな記法へと変えて、数式を見やすくしました。 先日、数IIIの積分でこのような問題を解きました。 、、、軸に囲まれた部分の面積を求めよ。 普通に解くならば、それぞれの範囲を考慮して絶対値付関数やら何やら・・・と、手間がかかるの…

積分資格試験求む

タイトルの通り、積分専門の資格試験を探しています。知っている方がおられたら、報告して下さると助かります。 今日はとても集中したいことがあるのでここで切ります。

解けました(?)【級数型】

parvan.hatenablog.com parvan.hatenablog.com さて、 \begin{align}\int^{\sin^{-1}x}_{1}\frac{\sin x}{x}dx\end{align}を解け。 ここではの逆関数。 という問題でございます。皆さんならどう解くでしょうか?もし数学者だったらどんなエレガントな解を導…

解けました!【予告】

昨日書いた記事の問題。 parvan.hatenablog.com は本当に苦戦しました。本当はこれYahoo知恵袋で私が回答させていただいたことでございました。 detail.chiebukuro.yahoo.co.jpいや本当に思いましたが、今までこんな積分解いたことありません。一応解けまし…