Integrate

まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

変換

不完全ガンマ関数が半径無限大のとき

主張. 複素数が、を満たすとき、0以外の複素数に対して \begin{align}\int^{z}_{0}e^{-x}x^{s-1}dx=\Gamma(s)\end{align} が成り立つ。 これが一体何の役に立つのかというと、 \begin{align}\int^{\infty}_{0}e^{-zx}x^{s-1}dx=z^{-s}\Gamma(s)\end{align} …

不完全ガンマ関数の積分路が[0,i∞)、[0,-i∞)の時の求め方

本来、不完全ガンマ関数は積分区間が実数の時しか定義されてないのですが、 最近そんなことを言っている場合ではなくなってきたので、勝手に定義域を変更しちゃいます。 本来の不完全ガンマ関数は、次のように定義されます。 とは言っても、第一種と第二種が…

絶対ゼータ関数

実は、前回の記事の続きとして新たに定理発表をしていたのですがなんとそれが後から間違っていることにきずいて、下書きに戻しました まあそれはよいとして先日、1/15ぐらいに 現代三角関数論 黒川重信 著 現代三角関数論作者: 黒川信重出版社/メーカー: 岩…

難しい問題【積分】

明日でハッピーニューイヤーですね。 今年は素人ながらいろいろなことがありました。 引っ越したり、駒場祭に行ったり、ねこちゃんと戯れたり・・・ とまあそんなことで(笑)来年も数学一筋で頑張っていきたいと思います。 最近また多重三角関数を引き出し…

ガウス積分の別証明

追記:別証明と題してますが、なんと1812年にラプラスによって同じような証明方法がなされていることが判明いたしました。 本題 まーた今日も変換系かよ・・・ 関数のラプラス変換をメリン変換すると、 \begin{align}\mathcal{M}[\mathcal{L}[f(s)]]=\int^{\…

ラプラス変換を用いたマクローリン展開の導出

ふと思いついたので紹介します。で、部分積分をし、 \begin{align}\mathcal{L}[f(s)]&=\frac{f(0)}{s}+\frac{1}{s}\mathcal{L}[f^{'}(s)]\\ &=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{s^{n+1}}\end{align} 両辺をラプラス逆変換し、左辺は。右辺は積分路を変…

デルタ関数のsin極限表示の導出

今日は久しぶりの記事なので、記事の書き方を忘れてしました(苦笑)前の記事で「新しい分野を勉強中」と言いましたが、デルタ関数がちょっと関わっています。 そこでデルタ関数に触れてみてすごいなと思ったのはよくあんな不思議な関数を極限表示できたなと…