Integrate

数検一級取得。まだまだですが、積分マスター・インテグラー(Integraler)を目指していきます。私の数学レベルの向上とともにブログのレベルも上げていきたいと思います。

リーマンゼータ関数

正規多重三角関数

多分もう一ヶ月ぐらい記事を書いてないので、 あーもうこれはやばいと思って急いで書きました。 しかし、特に書くことがないので 近況報告をしようと思います。 多重三角関数の拡張版(本名がすごく気持ち悪いのでこの呼び方で統一します。)の正規化版を漁…

絶対ゼータ関数

実は、前回の記事の続きとして新たに定理発表をしていたのですがなんとそれが後から間違っていることにきずいて、下書きに戻しました まあそれはよいとして先日、1/15ぐらいに 現代三角関数論 黒川重信 著 現代三角関数論作者: 黒川信重出版社/メーカー: 岩…

多次元群多重三角関数

先日、某信濃町駅付近で開催された数学カフェ開催の3日連続のセミナーに出席させていただきました。 2日目のゼータ兄貴さんが講演者を務めた「Sato-Tate予想」ではなんとフェルマーの最終定理の証明をしていました。#math_zeta_cafe フェルマーの最終定理…

tanxのマクローリン展開

新年あけましておめでとうございます。 親の実家、静岡に帰省している間はPCが使えず、記事が書けなかったのでもう4日になってしましましたね。 私自身、のマクローリン展開自体は見たことがあるのですが、→テイラー展開 - Wikipediaによるとで \begin{alig…

難しい問題【積分】

明日でハッピーニューイヤーですね。 今年は素人ながらいろいろなことがありました。 引っ越したり、駒場祭に行ったり、ねこちゃんと戯れたり・・・ とまあそんなことで(笑)来年も数学一筋で頑張っていきたいと思います。 最近また多重三角関数を引き出し…

ζ(3)の積分表示の微妙な考察

さて、皆さんは本来の「微妙」の意味をご存知でしょうか。今では「なんか微妙だね」とか「微妙な空気になってしまった」とかって使われますよね。でも実は本来の「微妙」の意味は「少し良い」っていう意味らしいです。 国語の先生が言ってました。 今日はそ…

多重三角関数とζ(2n+1)の関係【一般化編】

最近、多重三角関数の記事が連続していますね。下に乗っけますが全部は見なくてよいです。 ただ、一番下の「三重三角関数とζ(3)の関係」は一度読んどいた方が良いと思います。短いのですぐ終わりますが。 parvan.hatenablog.com parvan.hatenablog.com parva…

【予告】多重三角関数とζ(2n+1)の関係

うわあー。疲れた(笑) とりあえずできましたんで紹介します。 を代入すると、 \begin{align}\mathcal{S}_3\left(\frac{1}{2}\right)&=2^{1/4}\exp{\left(\frac{2!}{2^2}\frac{\zeta(3)}{(2\pi)^2}(1-8)\right)}\\ &=2^{1/4}\exp{\left(-\frac{7}{8\pi^2}\z…

三重三角関数とζ(3)の関係

今日は、昨日言った通り、 \begin{align}\zeta(3)=\frac{8\pi^2}{7}\log\left(\frac{2^{1/4}}{\mathcal{S}_3(1/2)}\right)\end{align} を示します。 integers.hatenablog.com の命題(Euler) を参考に、 \begin{align}\zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7}\log 2+\frac{…

多重三角関数の積分表示の導出【ゼータ特殊値使用】

いやあ、今までオンボロ格安シャーペンを使っていたもんでありますから、新しくクルトガを買って、非常に嬉しいです。 本題に入りましょうか。 に対し、多重三角関数()を、 \begin{align}\mathcal{S}_r&\stackrel{def.}{=}e^{\frac{x^{r-1}}{r-1}}\prod^{\in…

極めて初等的にEuler常数をゼータ級数表示

今日は題名の通り、極めて初等的に、Euler常数を、 \begin{align}c_E=\sum^{\infty}_{n=2}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)\end{align} に変形させます。 parvan.hatenablog.com にもでできました。 というのは、調和数とした定義式 \begin{align}c_E=\lim_{n\to\in…

ベルヌーイ数の和が面白い【改め】

改めの意味 先日、10月の初めですかね。ベルヌーイ数の和が面白い - Integralerへの道という記事を載っけました。なのになぜ、改めと題してまた書いているのか、それは決してネタ切れなどではありません。その理由はなぜか使用頻度が多いのに、数式の見た…

正のゼータ特殊値の交代級数の三通りの導出(1を除く)

和をとられる数の符号が交互に変わる無限和のことを、交代級数という。 ここで、1を除く自然数について和をとったリーマンゼータ関数の交代級数はどうなるでしょう?。リーマンゼータ関数ともなれば、無理数か超越数なんかになりそうです。ちなみに、式にす…

ζ(2m)の一般化された式の証明

リーマンゼータ関数の正の偶数の表示式はよく知られていますが、その証明をネットで調べても見つからなかったので、東京大学出版会の森田康夫 著による「整数論」を参考に、少し要約して紹介します。

いろいろな一般化ゼータ関数

いろいろな一般化されたゼータ関数をまとめてみました。

ベルヌーイ数の和が面白い

ベルヌーイ数は単調ではありません。また、1より大きい奇数番目では0という値を取ります。そこで、ベルヌーイ数単項の和はどうなるでしょうか?求めてみました。

リーマンゼータ3を初等的に別表示する

リーマンゼータ関数の3を簡単に少し綺麗な級数に示すことができます。